Question

已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1,若函数f(x)没有零点,求实数k的取值范围

Answer 1

 

分解为两个熟知的函数，采用图像分析法：

设g(x)=ln(x-1)   （x＞1）

h(x)=k(x-1)-1    （x＞1）

原题目相当于若g(x)与h(x)没有交点，求k的取值范围，

分析：g(x)=ln(x-1)图像固定，h(x)过定点（1,-1），然后围绕这个点根据k值不同，斜率变化。图中红色区域所示的范围就是k值在满足要求条件下所允许的范围。

垂直于x轴，则k趋于无穷大，不用限定k，

关键在求斜着那条线的斜率，很明显，两个曲线相切时候是分界点，分别求g(x)、h（x）导数：

g（x）导=1/（x-1）

h(x)导=k

令切点为x=a时，两曲线在x=a应有相同斜率，则有

g（a）导=1/（a-1）=h(a)导=k 由此推出k=1/a-1

两曲线相切于x=a,则x=a时，两函数y值应该相等即h(a)=g(a)

h(a)=k(x-1)-1 =1/(a-1)*(a-1)-1=0

g(a)=ln(a-1)=h(a)=0，则a=2,可得k=1/a-1=1,

则k的取值范围为k＞1，注意不是≥，因为等于时候相切，就有唯一交点（2,0）了。

第二种思路：（用到极限，可能高中阶段没有多涉及）

对题中函数求导f（x）导=1/（x-1)-k；(x>1)

显然：

1.  k小于等于0时，f(x)导>0恒成立，则f（x）单调增

limf(x)x趋于+1=-无穷，

limf(x)x趋于+无穷=+无穷

-无穷到+无穷的变化(函数为不间断函数)必然经过零点，单调增，则只有一个零点

2.  同理当k>0的时候，

必存在一点x=a,有f(x)导=0，则 由此推出k=1/a-1

且有：区间（1，a）上有f(x)导大于零恒成立，则f(x)在此区间单调增；

           区间（a,+无穷）上有f(x)导小于零恒成立，则f(x)在此区间单调减；

            f(a)导=0，f(x)在此区间存在极大值，函数f(x)在定义域是连续平滑曲线，则极大值就是最大值；

limf(x)x趋于1=-无穷

若再有最大值f(a)<0，即可说明无零点,反之，f(a)大于等于0,则至少有一个零点，有几个这里不作讨论了，感兴趣的可以再问我（答案是无论小于还是等于0都只有一个零点）。

f(a)=ln(a-1)-k(a-1)+1=ln(a-1)-1/(a-1)*(a-1)+1=ln(a-1),

由上可知，若ln(a-1)<0,则没有零点，得出a<2,则k=1/(a-1)>1

综上所述，k>1时，函数f(x)没有零点。

打字打得困了~这里对于极大值就是最大值，连续函数的论证没有认真思考，看得仔细的可能看出来了，可以一起讨论下。