Question

若函数f(x)=ln(x+1)-2/x的零点正在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k的值

这个题目的答案是k=1或-1 我想用图像法来解决，有人可以帮忙吗？ 求导法似乎只能得到一个答案

Answer 1

f(x)=ln(x+1)-2/x的零点
也就是ln(x+1)=2/x的交点
2/x的图像好画，跟1/x差不多一样
ln(x+1)的图像其实就是把lnx的图像向左，也就是x轴负方向移一个单位
就是以，x=-1为渐近线的，经过原点的图像了。
那么ln(x+1)和2/x的第一个交点显然是在(-1,0)之间
从图像可以看到另外一个交点在x的正半轴上，下面来确定他的区间
当x=0时，ln（x+1）=0，2/x在x=0处是渐近线
当x=1时，ln(x+1)=ln2，2/x=2，因为e>2,显然ln2<2，所以此时，ln(x+1)图像在2/x图像的下方
当x=2时，ln(x+1)=ln3，2/x=1,e<3,所以ln3>1,所以此时，ln(x+1)图像在2/x的上方
那么好了，两个图像的交点肯定在1，2之间，要不然，图像的顺序不会发生更替

在整个实数范围内，两个图像只有这两个交点了
所以交点在区间（-1，0）和区间（1，2）内
这两个图像交点也就是f（x）的零点。
那么k=1或者-1了。