Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,当x>0时,有f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式xf(x)>0的解集为

Answer 1

f(x)-xf'(x)>0，即[xf(x)]'>0，所以xf(x)在[0,+∞)上是增函数.
因为f(x)是奇函数，所以xf(x)是偶函数，且f(-1)=f(1)=0.
所以xf(x)>0的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).

Answer 2

令g（x）=f（x）/x，x≠0，因为f（x）为奇函数，所以g（x）为偶函数
当x＞0时
g‘（x）=[xf’（x）-f（x）]/x²＜0，于是g（x）在（-无穷，0）上单调增，在（0，正无穷）上单调减
g（1）=0，g（-1）=g（1）=0，于是g（x）＞0的解为（-1,0）∪（0,1）
即f（x）/x＞0的解为（-1,0）∪（0,1），
于是xf（x）＞0的解集为（-1,0）∪（0,1）