Question

已知数列{an}中,a1=5且an=3a(n-1)+3^n-1, 求详解！！！

1)证明:数列{(an-1/2)/3^n}为等差数列

2）求数列{an}的通项公式
3）求数列{an}的前n项和

Answer 1

1）证明：
an=3a(n-1)+3^(n-1)
an-1/2=3a(n-1)+3^(n-1)-1/2
两边同时除以3^n，得
(an-1/2)/3^n=[3a(n-1)-1/2+3^(n-1)]/3^n=[a(n-1)-1/2]/3^(n-1)+1/3
∴(an-1/2)/3^n-[a(n-1)-1/2]/3^(n-1)=1/3为定值
(a1-1/2)/3^1=(5-1/2)/3=3/2
∴数列{(an-1/2)/3^n}为以首项为3/2，公差为1/3的等差数列。

2）解：
由（1）得
(an-1/2)/3^n=3/2+(n-1)x1/3=n/3+7/6
an=(n/3+7/6)*3^n +1/2

3）
an=(n/3+7/6)*3^n +1/2=n*3^(n-1) +7/6*3^n+1/2
An=1/2的前n项和为Tn= n/2
Bn=7/6*3^n的前n项和为Qn= 7/6*3x(1-3^n)/(1-3)=7/4*(3^n -1)
Cn=n*3^(n-1) 其前n项和为：
Sn=1+2*3¹+3*3²+4*3³+……+n*3^(n-1)
3Sn = 3¹+2*3²+3*3³+4*3⁴+……+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
相减，得
-2Sn=1+3¹+3²+3³+……+3^(n-1)-n*3^n
=(1-3ⁿ)/(-2)-n*3ⁿ
∴Sn=(1-3ⁿ)/4+½n*3ⁿ
所以数列{an}的前n项和为：
Tn+Qn+Sn=n/2+7/4*(3^n -1)+(1-3ⁿ)/4+½n*3ⁿ

追问

你算错了！

追答

哪一步错了啊？请指出我检查。

追问

公差为1/3的等差数列。
an=(n/3+7/6)*3^n +1/2
n/2+7/4*(3^n -1)+(1-3ⁿ)/4+½n*3ⁿ

追答

an=3a(n-1)+3^(n-1) （题目已知没错）
an-1/2=3a(n-1)+3^(n-1)-1/2 （两边减1/2 没错）
两边同时除以3^n，得
(an-1/2)/3^n=[3a(n-1)-1/2+3^(n-1)]/3^n=[a(n-1)-1/2]/3^(n-1)+1/3
3^(n-1)/3^n=1/3 得公差 1/3，我也找不到错在哪儿了。

但这类题的解题方法就是这样的。

Answer 2

证明：（1）∵an=3a[n-1]+3^n-1(n≥2，n属于N*).
∴ an-1/2=3(a(n-1)+3^n
两边同除以3^n得
∴（an-1/2)/3^n=（a[n-1]-1/2)/3^[n-1]+1
∴数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=3/2为首项,以1为公差的等差数列
(注意:当n=1时(an-1/2)/3^n=(a1-1/2)/3=3/2)
(2)∵数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=3/2为首项,以1为公差的等差数列 ∴(an-1/2)/3^n=3/2+n-1=n+1/2
∴an=1/2+(n+1/2)*3^n
(3)由an=1/2+(1/2)*3^n+n*3^n
令数列{n*3^n}前n项的和为Tn，数列(1/2)*3^n 前n项的和为Pn
于是Sn=(1/2)*n+Pn+Tn
Pn=(1/2)(3+3^2+.....3^n)=(3/4)(3^n-1)
Tn=1*3+2*3^2+3*3^3+....+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
3Tn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+....+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
错项相减得:Tn-3Tn=3+3^2+3^3+....+3^n-n*3^(n+1)
即-2Tn=(3/2)*(3^n-1)-n*3^(n+1)Tn=-(3/4)*(3^n-1)+n*3^(n+1)
于是Sn=(1/2)*n+Pn+Tn=(1/2)*n+(3/4)(3^n-1)-(3/4)*(3^n-1)+n*3^(n+1)
=(1/2)*n+n*3^(n+1)
=n[3^(n+1)+1]/2

追问

这里Sn=(1/2)*n+Pn+Tn变成了1/2*n了？不是1/2+Pn+Tn这个吗？？

追答

因为an=1/2+(1/2)*3^n+n*3^n
a1中有个1/2
a2中有个1/2
a3中有个1/2
.....
an中有个1/2
于是a1+a2+a3+...+an相加就有(1/2)*n了

追问

这里Pn=(1/2)(3+3^2+.....3^n)怎变成=(3/4)(3^n-1)的？
这里Tn=1*3+2*3^2+3*3^3+....+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
3Tn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+....+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
错项相减得:Tn-3Tn=3+3^2+3^3+....+3^n-n*3^(n+1)
算出来的数有啥意义？不是说Sn=(1/2)*n+Pn+Tn吗？数个-2Tn出来干啥？还有为什么一定要乘3Tn才行呢？乘别的数不行？

追答

你这种好学精神可佳,你实在不懂,就问你身边的老师吧,
Pn=(1/2)(3+3^2+.....3^n)变成=(3/4)(3^n-1)这是求等比数列之和.公比为3,首项为3/2
一定要乘3Tn才能化为等比数列来求和,这是一般的方法.

追问

........我身边有老师我早问了，还会在这里看得晕头晕脑吗！这首项为3/2又哪来的？
还有这里Pn=(1/2)(3+3^2+.....3^n)怎变成=(3/4)(3^n-1)的？
这里Tn=1*3+2*3^2+3*3^3+....+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
3Tn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+....+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
错项相减得:Tn-3Tn=3+3^2+3^3+....+3^n-n*3^(n+1)
算出来的数有啥意义？不是说Sn=(1/2)*n+Pn+Tn吗？算个-2Tn出来干啥？
能详细答答吗？帮帮忙嘛！

追答

(a1-1/2)/3^1=(5-1/2)/3=3/2

Answer 3

证明：（1）∵an=3a[n-1]+3^n-1(n≥2，n属于N*). [n-1]为下标
∴（an-1/2)/3^n-（a[n-1]-1/2)/3^[n-1]=1
∴数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=3/2,d=1的等差数列

(2)(an-1/2)/3^n=3/2+n-1=n+1/2
an=1/2+(n+1/2)*3^n
(3)Sn=1/2*n+3/2*3+5/2*3^2+7/2*3^3+...+(n+1/2)*3^n
3Sn=3/2 n+3/2*3^2+5/2*3^3+7/2*3^4+...+(n+1/2)*3^(n+1)
Sn-3Sn=-n+3/2*3+3^2+3^3+...+3^n-(n+1/2)*3^(n+1)
-2Sn=-n+1/2*3+3(3^n-1)/(3-1)-(n+1/2)*3*3^n
Sn=n/2+(n+1/2)*3/2*3^n-3/2*3^n=n/2+(n-1/2)*3/2*3^n

追问

这数列｛（an-1/2)/3^n｝是以(a1-1/2)/3^1=3/2,这3/2怎算出来的？
还有那第3题还不太明白能详细点吗

追答

(a1-1/2)/3=(5-1/2)/3=3/2

追问

第三问能详细点吗？

追答

已经够详细了。

追问

看不懂啊！

Answer 4

　1.an-1/2=3[a(n-1)-1/2]+3^n-1+1
　　(an-1/2)/3^n=[a(n-1)-1/2]/3^(n-1)+1
　　(an-1/2)/3^n-[a(n-1)-1/2]/3^(n-1)=1
　　设bn=(an-1/2)/3^n，
　　∴bn-b(n-1)=1
　　∴bn=(an-1/2)/3^n是n≥2的等差数列
　　a2=23
　　b2=(a2-1/2)/9=5/2
　　bn=b2+(n-2)d=5/2+n-2=n+1/2
　　b1=(a1-1/2)/3=3/2=1+1/2,也满足通项公式bn=n+1/2
　　∴数列{(an-1/2)/3^n}为等差数列
　2.(an-1/2)/3^n=n+1/2
　　an=1/2+(n+1/2)*3^n
　3.设cn=n*3^n,dn=(1/2)*3^n,en=1/2
　　an=cn+dn+en
　　c1+c2+c3+...+cn=1*3+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n
　　3(c1+c2+c3+...+cn)= 1*3^2+2*3^3+...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
　　-2(c1+c2+c3+...+cn)=3+3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1)
　　=3+[3^2(1-3^(n-1))/(1-3)]-n*3^(n+1)
　　c1+c2+c3+...+cn=[3+(2n-1)*3^(n+1)]/4
　　d1+d2+d3+...+dn=(3/2)*(1-3^n)/(1-3)=[3^(n+1)-3]/4
　　e1+e2+e3+...+en=n/2
　　a1+a2+a3+...+an=n*3^(n+1)/2+n/2