Question

若对于满足1/x + 9/y =1的任意正数X,Y， 不等式a≤x+y恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

因为1/x + 9/y =1
所以x+y=(x+y)(1/x+9/y)
=1+9x/y+y/x+9
=10+9x/y+y/x

因为x>0，y>0
所以x+y=10+9x/y+y/x
≥10+2√[(9x/y)(y/x)]=16

当且仅当9x/y=y/x即3x=y时等号成立

所以a≤16

刚才才发现有需要改的地方，于是紧急过来进行了修改

Answer 2

+y=1*(x+y)=(1/x+9/y)(x+y)=1+y/x+9x/y+9=10+y/x+9x/y
因为x、y都是正数，根据x+y≥2(xy)^2(2倍根号xy)
得y/x+9x/y≥2(9xy/xy)^2=6
即得：x+y=10+y/x+9x/y≥16
不等式a≤x+y恒成立，即a≤16

Answer 3

因为(1/x)+(9/y)=1所以(x+y)*[(1/x)+(9/y)]=x+y。即[10+(9x/y)+(y/x)]=a>=10+根号【(9x/y)*(y/x)】所以a>=16