Question

已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

我算出来是a>=4,可是我随便代了个数字进去，发现不对，比如我设x=y=1,那a不就可以最小等于3.5了吗？是什么出了问题？还是我设的不对？

Answer 1

答：
x和y是任意正实数：x>0，y>0
a是正实数：a>0
(x+y)(1/x+a/y)>=9
1+ax/y+y/x+a>=9
ax/y+y/x>=8-a恒成立
因为：
ax/y+y/x>=2√[(ax/y)*(y/x)]=2√a………………（1）
所以：2√a>=8-a恒成立
当8-a<=0并且a>0即a>=8时上述不等式恒成立
当0<a<8时，8-a>0：上述不等式两边平方得4a>=64-16a+a^2
a^2-20a+64<=0
(a-4)(a-16)<=0
4<=a<=16
所以：4<=a<8
综上所述，a>=4
所以：a的最小值为4

（1）等号成立的条件是当且仅当ax/y=y/x即y=(√a)x>0的时候才成立
x=y=1不满足上述等式，因此你所描述的是错误的

Answer 2

Answer 3

旧时王谢堂前燕。。