Question

常用逻辑用语问题

Answer 1

一、知识点解读
1．命题：初中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题．而高中教科书中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题，说法不同，实质是一样的．语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题．
2.全称量词:
①．全称量词的定义:在语句中含有短语“对所有的”,“任意一个”等，短语“所有”在陈述中表示数量,逻辑中通常叫做全称量词.全称量词用符号“ ”表示
常用的全称量词有“所有”“任意”“一切”“每一个”“任给”“凡是”等等．
②.含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称命题的符号记法:
一般地，设 是某集合 的所有元素都具有或都不具有的性质，那么全称命题就是形如“对 中的所有 ， ”的命题，用符号简记为： .
3.存在量词:
①.存在量词的定义:在语句中，短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中也表示数量．逻辑中通常叫做存在量词.存在量词通常用符号“ ”表示.常见的存在量词有“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在一个”“对某个”、“有的”等．
②.含有存在量词的命题，叫做存在性命题.存在性命题的符号记法:
一般地，设 是某集合 的有些元素 具有或不具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合 中的元素 ， ”的命题，用符号记为：
4．逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题．由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题．
①逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要结合真值表加以理解．另外，结合集合的并集、交集、补集来理解联结词，它们的定义分别用“或”、“且”、“非”等联结词．
②对于复合命题的理解要注意“由简单命题与…”，其中我们只注意“联结词”，而不注意“命题”．如x>2或x<-2就不是复合命题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题．
③对于三个真值表可做如下理解　
ⅰ）“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
ⅱ）“p且q”形式复合命题当p与q同时为真时为真，其他情况时为假；
ⅲ）“p或q”形式复合命题当p与q同时为假时为假，其他情况时为真．真值表是我们判断真假命题的直接依据．
5．四种命题之间的关系
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.
6．一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系
①原命题为真，它的逆命题不一定为真
例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题．
②原命题为真，它的否命题不一定为真
例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题,它的否命题“若a≠0,则ab≠0”是假命题.
③原命题为真，它的逆否命题一定为真
例如，原命题“若a=0，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab≠0，则a≠0”是真命题．
7．充要条件
(1)对充要条件的理解
对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论．
①如果由p q，则p是q的充分条件
②如果由q p，则p是q的必要条件
③如果p q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件
(2)充要条件的判断．
①直接用充要条件定义判断
②借助四种命题之间的关系间接判断，如所给命题的条件不易判断，我们可以转化为判断它的逆否命题的条件，因为原命题与其逆否命题是等价的，即同真或同假．反证法就是一种间接法．
二、方法、技巧、规律小结
(1)命题的概念是数学中的基础概念，学习时应结合具体实例理解它的含义．可以判断真假是命题的特征．
(2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．
(3)全称命题，存在性命题就是含有全称量词，存在性量词的命题，学会自然语言与符号语言的转化．
(4)同一个全称命题，存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．
(5)在解决有关充要条件的问题时一定要注意特殊情况；当有关命题的真假直接判断比较困难时也可考虑其逆否命题；含有逻辑连结词的命题的否定形式，逻辑连结词也要跟随着改变．
三、高考考点解读
考点1 考查充要条件的判断
例1（2006年山东高考题）设 ,则 是 的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
解析: 化简得 : .
,化简得 : 或 或 .
作数轴易得 但 推不出 ,故选A.
评注：“若，则A是B的充分条件，B是A的必要条件”高考常设置选择题对充分条件和必要条件进行考查．对于充分和必要的理解，还可通过下面的实例来体会：小明从家去上学有以下几种方式：①骑自行车；②坐公交车；③步行，现在问骑自行车是小明从家去学校的什么条件？显然骑自行这个条件是去学校充分的但不必要的条件．
考点2 考查复合命题真假判断
例3（2004年福建高考题）命题p：若 、 ∈R，则 是 的充要条件． 命题q：函数 的定义域是（—∞， ∪[ ，+∞ 则（）
（A）“p或q”为假 （B）“p且q”为真 （C）p真q假 （D）p假q真
解析：由三角形不等式 知： 是 的必要不充分条件，即p为假命题；由 可得 或 ，即 为真命题．故选D．
评注：对复合命题真假的判断可利用真值表进行．真值表可简要地描述为：“非 ”命题的真假与 命题的真假相反；当命题 、 中一个为真时则“ 或 ”真命题；当命题 、 中一个为假时，则“ 且 ”为假命题．
考点3 考查命题的四种形式
例4（2001年全国新课程试题）在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中逆命题为真命题的是．
解析：①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．显然正方形的四个顶点不共线但共面，故其其正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为是真命题．
评注：当直接判断命题真假比较困难时，可转而考虑其逆否命题．