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这个其实不是多项式.
如果是多项式, 直接代入x = 0就能求出常数项了.
这种例子要用二项式定理展开.
(2x^3+2x^(1/2))^10展开为形如C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(1/2))^(10-k)的项的和.
这样一项的次数为3k+1/2·(10-k) = 5+5k/2 > 0.
因此是没有常数(零次)项的.
如果改成(2x^3+2x^(-1/2))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/2))^(10-k)的次数为3k-1/2·(10-k) = 7k/2-5.
不巧的是7k/2-5 = 0没有整数解, 所以也没有常数项.
再改成(2x^3+2x^(-1/3))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/3))^(10-k)的次数为3k-1/3·(10-k) = 10k/3-10/3.
10k/3-10/3 = 0有整数解k = 1, 并满足0 ≤ k ≤ 10.
因此常数项就是k = 1的项C(10,1)·(2x^3)·(2x^(-1/3))^9 = 10·(2x^3)·(2^9·x^(-3)) = 10240.
不知这样有没有讲明白?
如果是多项式, 直接代入x = 0就能求出常数项了.
这种例子要用二项式定理展开.
(2x^3+2x^(1/2))^10展开为形如C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(1/2))^(10-k)的项的和.
这样一项的次数为3k+1/2·(10-k) = 5+5k/2 > 0.
因此是没有常数(零次)项的.
如果改成(2x^3+2x^(-1/2))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/2))^(10-k)的次数为3k-1/2·(10-k) = 7k/2-5.
不巧的是7k/2-5 = 0没有整数解, 所以也没有常数项.
再改成(2x^3+2x^(-1/3))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/3))^(10-k)的次数为3k-1/3·(10-k) = 10k/3-10/3.
10k/3-10/3 = 0有整数解k = 1, 并满足0 ≤ k ≤ 10.
因此常数项就是k = 1的项C(10,1)·(2x^3)·(2x^(-1/3))^9 = 10·(2x^3)·(2^9·x^(-3)) = 10240.
不知这样有没有讲明白?
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系科仪器
2024-08-02 广告
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改为：
在[x^+x^(-1/2)]^10的展开式中，
T<r+1>=c(10,r)(x^)^(10-r)*(1/√x)^r
=c(10,r)x^(20-2r-r/2)为常数项，
∴20-5r/2=0,
r=8，
T9=c(10,8)=c(10,2)=45.
在[x^+x^(-1/2)]^10的展开式中，
T<r+1>=c(10,r)(x^)^(10-r)*(1/√x)^r
=c(10,r)x^(20-2r-r/2)为常数项，
∴20-5r/2=0,
r=8，
T9=c(10,8)=c(10,2)=45.
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