Question

请问在证明序列｛a^n/n!｝(a>1)是无穷小量时，为何最后会设N=[Ca/ε]+1呢？

如上图，划线部分的那个N=[Ca/ε]+1是怎样得到的？另外由于n>[Ca/ε]，所以说明在以整数为单位的情况下，n是大于[Ca/ε]的。但是要是求满足n>N的一个ε，那将[Ca/ε]加1后，n>N的情况一定严格存在吗？我的意思是，由于n>[Ca/ε]，同时又设N=[Ca/ε]+1，那一定有n>N吗？
比如Ca/ε=4.5，那么[Ca/ε]就是4，如此一来[Ca/ε]+1=5，但这对n>[Ca/ε]=4情况下，一定有n>[Ca/ε]+1=5=N存在吗？这会不会有些矛盾？麻烦各位帮我解释下，非常感谢~

Answer 1

极限的概念需要再理清一下.
lim{n→∞} an = a, 若对任意ε > 0, 存在N, 使任意n > N都有|an-a| < ε.
这里的N只要保证对n > N都成立|an-a| < ε就行了.

上述证明中得到对n > Ca/ε都有|a^n/n!-0| < ε.
因此如果取N = [Ca/ε]+1 > Ca/ε, 当n > N就有n > Ca/ε, 也就有|a^n/n!-0| < ε.
所以这个N已经满足了极限定义中的要求.

其实取N = [Ca/ε]+10000都没问题, 只要保证n > N时有|a^n/n!-0| < ε.
完全不用管对n ≤ N是不是也能成立|a^n/n!-0| < ε.

有疑问请追问.

追问

这么说是我理解错了。其实是应该先设n>N，然后根据N=[Ca/ε]+1得到必定满足的结果吗? 另外还想请问下，为什么在最开始证明的时候会有n>[a]，难道不会出现n<[a]的情况吗？

追答

是的, 把逻辑顺过来是这样:
对任意ε > 0, 存在N = [Ca/ε]+1, 使得当n > N时总有|a^n/n!-0| Ca/ε.
再取N = [Ca/ε]+1, 说明n > N都满足要求.
这是符合构思过程的写法, 也是原证法的写法.

当然逻辑上都是一样的, 只需要说明对n > N满足要求.

n > [a]的问题.
因为极限与前有限项无关, 因此不妨要求n > [a].
而这一点只需取N = max{[a]+1,[Ca/ε]+1}就能保证.

再详细解释一下极限与前有限项无关这一点.
一个数列an = 1/n, 我们知道它的极限是0.
如果我修改其中的有限项, 例如取a10000 = 10000, 都不会改变这个极限.
因为总存在N, 使n > N时an = 1/n是没有改变过的.
因此讨论极限时可以抛掉前面的有限项不管, 也就不妨设n > [a].