Question

数列问题

Answer 1

S3，1/2S5，S4是等差数列
S5=S3+S4
an是等差数列
S5=5a1+10d，S3=3a1+3d，S4=4a1+6d
5a1+10d=3a1+3d+4a1+6d
d=2*a1=2 所以an=1+2(n-1)=2n-1

再讨论Tn
1/(an*an+1)=d*(1/an-1/an+1)=2*(1/an-1/an-1)
Tn=2*(1-1/3+1/3-1/5+......+1/(2n-1)-1/(2n+1)=2*(1-1/(2n+1))=4n/(2n+1)
T1=4/3
Tm=4m/(2m+1)
假设存在
4/3*4m/(2m+1)=[4n/(2n+1)]^2
化简：m/[3*(2m+1)]=[n/(2n+1)]^2
设k=[n/(2n+1)]^2
上式得：m/[3(2m+1)]=k
求出m=3k/(1-6k)
m是正整数，所以1-6k>0,k<1/6
而k=[n/(2n+1)]^2，是接近1/4
所以结论是否定的

追问

你的T1算错了

Answer 2

S3,1/2S5,S4成等差数列
即S3+S4=S5
(3a1+3d)+(4a1+6d)=(5a1+10d)
解得d=2
an=2n-1
Tn=1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+...+1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)
易得Tm^2=T1Tn=1/3Tn
m^2/(2m+1)^2=n/[3(2n+1)]
化简为(2n+3)m^2=n(4m+1)
1)若n=3,则9m^2=3(4m+1)
解得m=(2±√7)/3不合题意
2)若n≠3,则2n+3不能被n整除
故m^2能被n整除,设m=kn
有(2n+3)k^2n=(4kn+1)①
而4kn+1不能被n整除，矛盾
综上不存在这样的m,n