Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB＝8，BC＝10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM＋CN等于？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由． 现在急需！！！ 谢谢了！！！

Answer 1

延长NO交AD于点P，连结MN、MP．
由“O为矩形ABCD的对角线交点”，通过全等或旋转对称可得BN＝DP，OP＝ON．
∴OM垂直平分PN．∴MP＝MN
在Rt△MDP中，MP2＝DP2＋DM2，
在Rt△MCN中，MN2＝CN2＋CM2
又∵MP＝MN，BN＝DP，
∴BN2＋DM2＝CN2＋CM2
若设DM＝x，CN＝y，则CM＝8－x，BN＝10－y．
∴(10－y)2＋x2＝y2＋(8－x)2．化简得y＝45 x＋95
∴CM＋CN＝8－x＋y＝8－x＋45 x＋95 ＝495 －15 x
由题意得495 －15 x＝445
解得x＝5．
∴当DM＝5时，CM＋CN等于445