Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN 2 =CD 2 +CN 2 ，在图③中（三角板一边与OC重合），CN 2 =BN 2 +CD 2 ，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。 ⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。 ⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系（不需要证明）

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Answer 1

⑴见解析⑵CM 2 +CN 2 =DM 2 +BN 2 ，理由见解析⑶CM 2 －CN 2 + DM 2 －BN 2 =2

⑴选择图①证明： 连结DN ∵矩形ABCD ∴BO=DO ∠DCN=90 0 ∵ON⊥BD ∴NB=ND      ∵∠DCN=90 0 ∴ND 2 =NC 2 +CD 2    ∴BN 2 =NC 2 +CD 2    (4分) 注：若选择图③，则连结AN同理可证并类比给分 ⑵CM 2 +CN 2 =DM 2 +BN 2    理由如下： 延长DO交AB于E ∵矩形ABCD ∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=90 0 AB∥CD ∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO ∴△BEO≌△DMO   ∴OE=OM   BE=DM ∵MO⊥EM ∴NE=NM          ∵∠ABC=∠DCB=90 0 ∴NE 2 =BE 2 +BN 2    NM 2 =CN 2 +CM 2 ∴CN 2 +CM 2 =BE 2 +BN 2 即CN 2 +CM 2 =DM 2 +BN 2 (4分) ⑶CM 2 －CN 2 + DM 2 －BN 2 =2（2分） （1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND 2 =NC 2 +CD 2 ，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN 2 =NC 2 +CD 2 ； （2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN 2 +CM 2 =DM 2 +BN 2 ； （3）根据正方形的性质知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON为直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，从而可证：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根据勾股定理：DM 2 =AM 2 +AD 2 =BN 2 +AD 2 ，MC2=MB 2 +BC 2 =CN 2 +BC 2 ，故可得：CM 2 -CN 2 +DM 2 -BN 2 =2．