Question

若等差数列{an}的首项为1，公差不为0，而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a3,a21

①求数列{an}的前n项和
②若b1+b2+……+bm<2013，求正整数m的最大值。

Answer 1

根据题意：（a3)^2=a1*a21
(1+2σ)^2=1+20σ
求解得： σ=4，即{an}的公差为4
于是，Sn=1+4（n-1）
等比数列{bn}=9^(n-1)
再求{bn}的前m项和，解不等式，就可以求出m的最大值，

Answer 2

设公差为d（d不等于0），那么an＝1+(n-1)d
a3=1+2d,a21=1+20d

因为是等比数列所以：
1*（1+20d）＝（1+2d)^2
4d^2-16d=0
因为d不等于0，所以d＝4
an＝1+（n-1)*4=4n-3
Sn=(1+4n-3)*n/2=2-1/n

等比数列：b1=1，b2=9，b3=81
所以1=9
等比数列前m项和：
Sm=[a1*(1-q^m)]/(1-q)=-（1-9^m)/8=(9^m)/8-1/8<2013

9^m<16105

m的最大值是4