Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（...

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an2+Sn

Answer 1

Sn=a（Sn-an+1）
Sn(1-a)=a(1-an)
Sn=a(1-an)/(1-a)
S(n-1)=a(1-a(n-1))/(1-a) n>=2
相减:
an=a[a(n-1)-an]/(1-a)
(1-a)an=a*a(n-1)-a*an
an=a*a(n-1)
an/a(n-1)=a
公比a ,
a1=a(a1-a1+1)
a1=a
a1+a2=a(a1+a2-a2+1)
a+a2=a(a+1)
a2=a^2 很明显a2/a1=a^2/a=a 所以n>=1时,{an}是以a为首项,a为公比的等比数列
An=a*a^(n-1)
An=a^n

Answer 2

∵Sn=a（Sn-an+1）
∴S1=a(S1-a1+1)
∵a1=S1
∴a1=a(a1-a1+1)
∴a1=a

∵Sn=a（Sn-an+1）
∴S2=a(S2-a2+1)
∵a1+a2=S2
∴a2+a1=a(a2+a1-a2+1)
∵a1=a
∴a2+a=a(a+1)
∴a2=a^2

同理a3=a^3
a4=a^4
.......
an=a^n

所以{an}的通项公式an=a^n