Question

已知抛物线y＝1╱4x∧2焦点为f，若直线y＝－x＋4交抛物线于ab两点，求证oa⊥ob

Answer 1

解：解方程组 y=(1/4)x^2
y=--x+4
得：x1=2+2根号5 x2=2--2根号5
y1=2--2根号5， y2=2+2根号5，
所以 点A,B的坐标分别为 A（2+2根号5，2--2根号5）
B（2--2根号5，2+2根号5）
或 A（2--2根号5，2+2根号5）
B（2+2根号5，2--2根号5），
所以 OA的斜率 K1=(2--2根号5)/(2+2根号5）
或K1=(2+2根号5)/(2--2根号5），
OB的斜率 K2=(2+2根号5)/(2--2根号5)
或K2=(2--2根号5)/(2+2根号5），
因为 K1*K2=--1,
所以 OA垂直于OB。

Answer 2

已知抛物线y=(1/4)x²，焦点为F，若直线y=-x+4交抛物线于A，B两点，求证OA⊥OB.
解：-x+4=(1/4)x²，即有x²+4x-16=0；
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则依维达定理，有：
x₁+x₂=-4；x₁x₂=-16；y₁y₂=(-x₁+4)(-x₂+4)=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16=-16+16+16=16；
向量OA=(x₁，y₁)；向量OB=(x₂，y₂)；
由于OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=-16+16=0，故OA⊥OB。