Question

刚体碰撞问题

如图所示，质量为m 的子弹，以速度v0 射入质量为M、半
径为R 的圆盘的边缘，并留在该处。v0 的方向与入射处的半径垂直，
试就以下两种情况，求子弹射入后，圆盘与子弹构成的系统的总动能：
(1) 盘心装有一与盘面垂直的光滑固定轴；(2) 圆盘是自由的。

Answer 1

(1)在子弹射入圆盘的瞬间，子弹的速度可以看作是绕圆盘中心点转动的线速度。
则：角速度 ω1=v0/R (1)
系统的合力矩为零，符合角动量守恒。
设射入后系统的角速度为：ω2
子弹相对于圆盘转动的转动惯量为：I1=mR^2，圆盘的转动惯量为：I2=MR^2/2
由角动量守恒：
I1ω1=（I1+I2)ω2 (2)
(1)式代入（2）式
ω2=I1v0/R（I1+I2)
则：系统总动能为：
Ek=（I1+I2)ω2^2/2
=（I1+I2)(I1v0/R（I1+I2))^2/2
=(I1V0)^2/(2（I1+I2))
=(mV0)^2/(2m+M)

(2)当子弹射入瞬间，可以看成是圆盘绕下支点转动。
则有：子弹的转动惯量为：I1=m（2R)^2，圆盘的转动惯量为：I2=﹙3/2﹚MR^2
子弹的角速度 ω1=v0/（2R ）(3)
由角动量守恒：
I1ω1=（I1+I2)ω2 (4)
(3)式代入（4）式
ω2=I1v0/（2R（I1+I2)）（5）
Ek=（I1+I2)ω2^2/2
带入（5）
Ek=（I1v0）^2/(8R^2(I1+I2))
=16(mv0）^2/(8m+3M)

追问

第二问中它是既有平动又有转动的

追答

第二问如果是以圆心为转动轴的话，就要考虑圆盘的平动与转动，如果以下支点为转动轴的话，在瞬间是不用考虑平动的。

Answer 2

楼上的解答是高中的解法，是一个过于简单的模型，答案是错误的。
此题应该用动量定理和角动量定理求解。
第一问，整个过程m，M系统对圆盘中心合力矩为零。角动量守恒。
第二问，除角动量守恒外，动量也守恒。要注意圆盘有平动有转动。射入后m速度应该是圆盘质心的平动加上绕质心的转动。
具体就不解了吧。如果还有疑问，欢迎追问。
如果对你有帮助，请采纳。

追问

第二问的具体解答，可以写一下不

Answer 3

设获得共同速度为v1，系统总动能为Ek
由动量守恒定律得：mv0=(M+m)v1 (1)
由动能表达式得：Ek=1/2*(M+m)*(v1)^2 (2)
联立（1）（2）得：Ek=1/2*[(m^2)/(M+m)]*v0^2