Question

三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD。（

三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD。（1）求证:△ABD∽△ACE;（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状。

Answer 1

1, ∠ABD=∠ACE (同弧ED) ∠A=∠A △ABD∽△ACE

2，△BEC与△BDC的面积相等,则E、D点到BC的距离相等。

    ED//BC, ∠EDB=∠DBC ∠EDB=∠ECB(同弧BE)

   ∠DBC=∠ECB  △ABD∽△ACE  ∠ABD=∠ACE

 ∠ABD+DBC=∠ACE+∠ECB 

 ∠ABC=∠ACB  AB=AC

三角形ABC为等腰三角形

Answer 2

解：
方法1：因为S△BEC=S△BCD，
S△ACE=S△ABC-S△BEC，S△ABD=S△ABC-S△BCD，
所以S△ACE=S△ABD，
又由（1）知△ABD∽△ACE，
所以对应边之比等于1，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形；

方法2：因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，
即E、D两点到BC的距离相等，所以ED∥BC，
∴弧BE=弧CD，
∴∠ECB=∠DBC，
又因为∠EBD=∠ECD，
所以∠ABC=∠ACB，
即△ABC为等腰三角形