Question

概率定积分问题

把K提出来后变成x（x-y）, 怎么积分后会变成x^2.

Answer 1

你没看清楚吧
∫(0->1)dx∫(-x->x)kx(x-y)dy

=k∫(0->1)dx∫(-x->x) (x^2-xy)dy
=k∫(0->1)dx∫(-x->x) x^2dy -k∫(0->1)dx∫(-x->x)xydy
=k∫(0->1)dx∫(-x->x) x^2dy-k∫(0->1)xdx∫(-x->x)ydy
最后的那个y是奇函数啊，而上下限又是关于点原点对称
∴∫(-x->x)ydy =0
∴原式=k∫(0->1)dx∫(-x->x) x^2dy
=2k∫(0->1)dx∫(0->x) x^2dy

Answer 2

分成两个积分：y是奇函数，在对称区间积分=0
x^2是偶函数，积分=一半区间积分的2倍

Answer 3

∫[0,1]∫[x,-x]kx(x-y)dxdy 打开括号
=∫[0,1]∫[x,-x](kx^2-kxy)dxdy 第一部分关于y是偶函数等于∫[x,-x]kx^2dy=2∫[x,0]kx^2dy,第二部分关于y是奇函数，积分为0
所以∫[0,1]∫[x,-x](kx^2-kxy)dxdy=2∫dx∫[x,0]kx^2dy