Question

高二数学2-2问题，求解求大神，急急急

已知n为正整数，求证：当X≥0时，（1+X）^n≥1+nx

Answer 1

令 f(x) = (1+x)^n - nx - 1，x > -1且 x≠0
f'(x) = n(1 + x)^(n-1) - n = n [ (1+x)^(n-1) - 1 ]
当 -1 < x < 0时，0 < 1 + x < 1
(1-x)^(n-1) - 1 ≤ 0 ，即 f‘(x) ≤ 0
∴ f(x) 单调递减
f(x) > f(0) = 0
当 x>0时，1 + x > 1，(1+x)^(n-1) - 1 ≥ 0
即 f'(x) > 0 ，f(x) 是增函数
∴ f(x) > f(0) = 0
综上，f(x) > 0
即 (1+x)^n≥1+nx （n是正整数，x>0）
当x=0时，(1+x)^n≥1+nx也成立 .

Answer 2

(1+x)^n≥nx+1等价于(1+x)^n-nx-1≥0
令f(x)=(1+x)^n-nx-1,(x≥0)则
f'(x)=n(x+1)^(n-1)-n=n[(x+1)^(n-1)-1]
当x≥0且n≥1时x+1≥1,n-1≥0
(x+1)^(n-1)≥1
∴当x≥0且n为正整数n≥1时f'(x)≥0恒成立
∴f(X)在x≥0时单调递增
又∵当x=0时f(x)=0
∴f(x)≥0
∴(1+x)^n-nx-1≥0
所以(1+x)^n≥nx+1

Answer 3

这个就是著名的伯努利不等式呀
百科上有详解的，我就不鳌述了，提供链接：

http://baike.baidu.com/view/1656268.htm?fromId=368039#2

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

Answer 4

证明：用二项式展开定理
（1+X）^n=1+C(n,1)x+C(n，2)x^2+...+C(n,n)x^n
>=1+C(n,1)x=1+nx (因为x>=0)

Answer 5

把（1+X）^n展开就可以了

Answer 6