Question

若z是复数则方程z^2-|z|=0的根的个数

还有一问:若a∈R为什么方程x^2+(1-2i)x+a+i=0可能有一个实根一个虚根？

Answer 1

yami66的方法略繁, 提供一个简单的.
z² = |z|, 两边取模得|z|² = |z²| = ||z|| = |z|.
于是|z| = 0或1.
若|z| = 0, 则z = 0.
若|z| = 1, 代回得z² = |z| = 1, 则z = ±1.
易验证z = 0, ±1都是原方程的解.

实系数代数方程虚根成对, 若系数中有虚数就不一定了.
回顾这个结论的证明, 若b是实系数多项式f(x)的一根, 即f(b) = 0.
取共轭即得b的共轭也是f(x)的根.
这里用到f(x)的系数为实数, 因此在共轭下不变.
若系数有虚数, 只能证明b的共轭是另一个多项式的根.

回到你原先的问题.
设x²+(1-2i)x+a+i有实根c, 代入得c²+(1-2i)c+a+i = 0.
虚部i-2ci = 0, 得c = 1/2.
代回得a = -3/4.
即方程有实根当且仅当a = -3/4.
此时另外一根必为虚根, 因为由根与系数关系, 两根之积a+i是虚数.

Answer 2

   

 

           很高兴为你解答，不懂请追问！满意请采纳，谢谢！O(∩_∩)O~ 

追问

可是答案里有三个根哦，另外麻烦解答一下第二问，谢谢

追答

还有一个根 a=-1,b=0