Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．

（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？
（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

：（1）是直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切，理由如下：
连接OE．
∵DE 垂直平分AC，
∴∠DEC=90°．
∴DC为△DEC外接圆的直径．
∴DC的中点即为圆心O．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E斜边AC的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ACB=30°．
∵∠EDC=90°-∠ACB=60°，
∵OE=OD．
∴∠EDC=∠EOD=60°．
∴∠EBC+∠EOD=30°+60°=90°．
∴∠BEO=90°．
∴BE⊥EO．
又∵OE为圆O的半径，
∴BE是圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=6．
∴EC=3．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠ACB=30°，
∴DE=
3
．
∴S△DEC＝
1
2
DE•EC＝
3
3

2
，
∵S半圆=
1
2
π(
3
)2=
3
2
π．
∴S阴影=S半圆-S△DEC=
3
2
π−
3
3

2
．

Answer 2

（1）连接OE，
∵E是AC中点，
∴BE=AC½=AE
∵ABC=90°，角c=30°，
∴角A=60°，△ABE是等边三角形，角AEB=60°。
∵0E=0C
∴∠0EC=∠C=30°，∠BE0=180°-∠AEB-∠0EC=90°，
∴BE⊥0E，
∴BE与⊙0相切。

Answer 3

因为△edc的外接圆在bc中点，所以有∠c=∠ceo=30°，所以∠oeb=90°，又因为oe是一条直径，所以直线BE与△DEC的外接圆⊙O相切

第二问，图呢？

Answer 4

Answer 5