Question

在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，S是该△面积且4sinB.sin平方（π/4+B/2）+cos2B=1+根号3.

（1）求∠B的度数；（2）若B为锐角，a=4 , S=5根号3，求b的值. 过程 谢谢

Answer 1

原题4sinBsin平方(π/4+B/2)+cos2B=根号3+1
等价于2sinB[2sin平方(π/4+B/2)]+cos2B=根号3+1 ..............(1)
因为2sin平方(π/4+B/2）=1-2cos(π/2+B)=1-(-2sinB)=1+2sinB (诱导公式)....(2)
又因为cos2B=1-2sin平方B ......(3)
将(2)(3)代入(1)得
2sinB+2sin平方B+1-2sin平方B=根号3+1整理得：sinB=根号3/2 因为在三角形中0<B<180所以 B=60°或120°
S△ABC=1/2AB×BCsinA=1/2×AB×4×根号3/2 =5倍根号3
解得：AB=5
根据余弦定理AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosB
因为B=60°或120°所以cosB=正负1/2
将AB，BC及cosB值代入即可求出AC=根号21或根号71