Question

求证(x²+3)/【根号(x²+2)】>2

求大神帮帮我，有点急

Answer 1

证：
(x²+3)/√(x²+2)
=(x²+2+1)/√(x²+2)
={[√(x²+2)]²+1}/√(x²+2)
=√(x²+2) +1/√(x²+2)
平方项恒非负，x²≥0 x²+2≥2 √(x²+2)≥√2>0
由均值不等式得
√(x²+2) +1/√(x²+2)≥2

取等号的条件为√(x²+2) =1/√(x²+2)
x²+2=1 x²=-1，平方项恒非负，x无解，即不等式取不到等号。
综上，得√(x²+2) +1/√(x²+2)>2

如果你学过均值不等式，则本题极为容易，只要化为满足均值不等式的形式，剩下的就很简单了。

只有你选的这个答案方法是最笨的，你还选了，果然“慧眼”独具。

Answer 2

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Answer 3

(x²+3)/【根号(x²+2)】
=(x^2+2)/根号(x²+2)+1/根号(x²+2)
=根号(x²+2)+1/根号(x²+2)
根号(x²+2)>0 1/根号(x²+2)>0
根号(x²+2)+1/根号(x²+2)
>=2根号(根号(x²+2)*1/根号(x²+2))=2
当且仅当根号(x²+2)=1/根号(x²+2)即x^2+2=1时等号成立
因为x^2+2>2
所以上式不可能取等
所以(x²+3)/【根号(x²+2)】>2

不懂可追问
满意请采纳
谢谢

Answer 4

解：
分母=√(x²+2)>0
故原不等式等价于
x²+3>2√(x²+2)
即
(x²+3)²>4(x²+2)
x^4+6x²+9>4x²+8
x^4+2x²+1>0
(x²+1)²>0
由于x²+1>0
故上式成立
因此(x²+3)/√(x²+2)>2
证毕。

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

追问

原式≠2是因为分母不为0吧？

追答

取不到等号是因为，这里
(x²+1)²>0
x²+1是恒大于0的，因为x²不能取到-1

Answer 5