Question

在三角形ABC中，角ABC所对的边长分别是a,b,c,已知b=2√7,a+c=6,2sinAcosB+sin(B+C)=0,求a,c的的值

Answer 1

a+c=6
a^2+c^2+2ac=36
a^2+c^2-2accosB=4*7=28
相减:
ac(1+cosB)=4...................1
2sinAcosB+sin(B+C)
=2sinAcosb+sinA
=sinA(2cosB+1)=0
2cosB+1=0
cosB=-1/2............2
2式代入1式:
ac(1-1/2)=4
ac=8
a+c=6 a=6-c 代入上式:
(6-c)c=8
c^2-6c+8=0
c=2 or c=4
a=6-c
a=4 or a=2
即:a=4 , b=2 or a=2; b=4
又cosB=-1/2 B>90
B>A
得:b>a
所以:a=2 b=4

Answer 2

2sinAcosB+sin(B+C)=0

2sinAcosB+sinA=0
sinA(2cosB+1)=0
∵0<A<180
∴sinA<>0
∴2cosB+1=0
cosB=-1/2
∵0<B<180
∴B=120

a+c=6 平方一下
a^2+2ac+c^2=36
a^2+c^2=36-2ac
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=-1/2
a^2+c^2-b^2=-ac
36-2ac-28=-ac
ac=8
a+c=6
设a,c是一元二次方程x^2-6x+8=0的两根
(x-4)(x-2)=0
x=4 x=2
∴a,c的的值是2,4

Answer 3

解：由2sinAcosB+sin(B+C)=0得
2sinAcosB+sin(π-A)=0
2sinAcosB+sinA=0
sinA(2cosB+1)=0
由于sinA≠0
所以2cosB+1=0
cisB=-1/2
B=120°
由余弦定理得
b²=a²+c²-2accosB
28=a²+c²+ac
(a+c)²-ac=28
又a+c=6
所以ac=8
于是a=4,c=2
或a=2 c=4

Answer 4