Question

3道数学难题，求高手帮忙，配上详细解答，正确给加分

第一题：已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R) 求证：ln(n+1)>1/3+1/5+……+1/（2n+1）
第二题：已知双曲线C：X�0�5-Y�0�5/3=1，若存在一个以K（K≠0）为斜率的直线L与双曲线相交于2个不同的点M、N。若线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求K的范围。

第三题：已知双曲线C：5Y�0�5/16-5X�0�5/4=1，P是双曲线上一点，A、B是双曲线渐近线上的点分别位于第一、第二象限，若 向量AP=n向量PB，n∈（1/3,2）（1/3与2可以取到），求△AOB的面积的取值范围（O为原点）

Answer 1

抱歉。我只会第一个。数学归纳法证明的、我解析几何学得不好。
f(x)=lnx+2 x+1 ，定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=1/x -2/(x+1)^2 =x^2+1/x*(x+1)^2 ＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1

当n=1时，ln/n+1）=ln2
∵3ln2=ln8＞1，∴ln2＞1/3 ，即n=1时命题成立．
设当n=k时，命题成立，即 ln(k+1)＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） ．
∴n=k+1时，ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln（k+2）/（k+1） ＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） +ln（k+2）/（k+1） ．
当x＞1时，lnx+2/（x+1） ＞1，即lnx＞（x-1）/（x+1） ．
令x=（k+2）/（k+1） ，则有ln（k+2）/（k+1） ＞1/（2k+3） ，
则有ln(k+2)＞1/3 +1/5 +…+1/（2k+1） +1/（2k+3） ，即n=k+1时命题也成立．
因此，不等式成立、