Question

已知定义在R上的函数f(x)=ax^3+2ax^2+b(a>0)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11

1.求函数f(x)的解析式
2.若t属于[-1,1]是,f'(x)+tx<=0恒成立,求实数x的取值范围.

Answer 1

对f求导得到: f'=3ax^2-4ax= ax(3x-4)
因为a>0
令f'=0 得到 x=0,x=4/3
当x<0 时,f'>0, 递增
当0<x<4/3,f'<0, 递减
当x>4/3,f'>0, 递增

所以x=0时,是极大值; x=4/3时,是极小值
在区间[-2,1]
f(-2)=-8a-8a+b=-16a+b
f(0)=b
f(1)=a-2a+b=-a+b
容易知道 f(0)>f(1)>f(-2)
所以最大值是f(0)=b=5 ,最小值是f(-2)=-16a+b=-16a+5=-11, a=1
所以f(x)=x^3-2x^2+5

2.令g(x)=f'+tx =3x^2-4x+tx ≥0 恒成立,对于t属于[-1,1]
变形为 二次函数图像y1=3x^2-4x 在一次函数 y2=-tx 上方时候的x 取值范围
因为y1 图像是固定的 ,而 y2 是过原点的一簇直线,斜率在 [-1,1]的范围内
因此取:
t=-1 时, 3x^2-4x-x=3x^2-5x=x(3x-5)≥0 x≤0 或x≥5/3
t=1 时, 3x^2-4x+x=3x^2-3x=3x(x-1)≥0 x≤0 或x≥1
合并上述解集得到 x≤0 或x≥5/3

Answer 2

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