已知函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx(a>0)
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函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx
故f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x
a∈[1/2,1] 所以1/a∈[1,2]
令f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x>0 得到0<x<1或x>1/a
令f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x<0 得到1<x<1/a
所以f(x)在0<x<1或x>1/a上单调递增,在1<x<1/a单调递减
当x∈[1,2]时,f(x)在[1,1/a)上单调递减,在(1/a,2]上单调递增
故此时f(x)有最小值f(1/a)=-1-1/(2a)-lna
再令g(a)=-1-1/(2a)-lna
g’(a)=(1-2a)/2a^2
当a∈[1/2,1]时,g‘(a)<=0恒成立,故g(a)在a∈[1/2,1]上单调递减
所以g(a)有最小值g(1)=-3/2
所以-1-1/(2a)-lna>=-3/2
即f(x)>=-3/2
故对任意x∈[1,2]恒有f(x)+3/2≥0
故f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x
a∈[1/2,1] 所以1/a∈[1,2]
令f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x>0 得到0<x<1或x>1/a
令f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(x-1)(ax-1)/x<0 得到1<x<1/a
所以f(x)在0<x<1或x>1/a上单调递增,在1<x<1/a单调递减
当x∈[1,2]时,f(x)在[1,1/a)上单调递减,在(1/a,2]上单调递增
故此时f(x)有最小值f(1/a)=-1-1/(2a)-lna
再令g(a)=-1-1/(2a)-lna
g’(a)=(1-2a)/2a^2
当a∈[1/2,1]时,g‘(a)<=0恒成立,故g(a)在a∈[1/2,1]上单调递减
所以g(a)有最小值g(1)=-3/2
所以-1-1/(2a)-lna>=-3/2
即f(x)>=-3/2
故对任意x∈[1,2]恒有f(x)+3/2≥0
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