Question

已知y=(2x^+2x+5)/(x^2+x+1)，求函数的值域。解释答案步骤，我有答案！

一因：x^2+x+4=(x+1/2)^2+3/4大于0 二所：函数定义域为R 三(x^2+x+1)y-(2x^2+2x+5)=0推出(y-2)x^2+(y-2)x+(y-5)=0 四因：y不等2(y=2时x不存在) 五所：判别式=(y-2)^2-4(y-2)(y-5)大于等于0[这步不懂，求详解！］ 六即(y-2)(y-6)小于等于0[怎么来的？］ 七所：y大于等于2小于等于6推出(2,6]

Answer 1

解：∵y=2x^+2x+5)/(x^2+x+1)
=(2x^+2x+2+3)/(x^2+x+1)
=[2(x^2+x+1)+3]/(x^2+x+1)
=2+3/(x^2+x+1)>2
∴y>2 (y-2>0)

∵x^2+x+4=(x+1/2)^2+3/4
∴函数y定义域为R

由(x^2+x+1)y-(2x^2+2x+5)=0

得(y-2)x^2+(y-2)x+(y-5)=0
∵y不等2(y=2时x不存在)

∴Δ =(y-2)^2-4(y-2)(y-5)≥0 (关于x的一元二次方程有解的条件）
（y-2)[(y-2)-4y+20)=(y-2)(-3y+18)=-3(y-2)[(y-2)(y+6)]≥0
即(y-2)(y-6)≤ 0

2<y≤ 6

Answer 2

1.一个完全平方为非负数，再加3/4就恒为正数，所以定义域为R；
3.合并同类项
4.分类讨论，将y看做常量，那么方程就是关于x的一元二次方程或者一元一次方程。若为一元一次，则是第四步，
5.若为一元二次，则一元二次方程有解，判别式必须>=0，即为第五步；
6.这步就是5中所得不等式求解就行。
这种方法不错，不过容易忽略（y-2）=0的情况。
建议使用因子分离法。