Question

∫ π~-π(x^2+sin(x)^3)dx 求定积分

求大神 讲得详细些

Answer 1

∫(- π→π) (x² + sin³x) dx
= ∫(- π→π) x² dx + ∫(- π→π) sin³x dx
x²是偶函数，sin³x是奇函数
所以结果等于2∫(0→π) x² dx
= 2 * x³/3：(0→π)
= (2/3)π³

若被积函数f(x)关于y轴对称，有以下定理：
被积函数关于x为奇函数，则∫(- a→a) f(x) dx = 0
被积函数关于x为偶函数，则∫(- a→a) f(x) dx = 2∫(0→a) f(x) dx
利用对称性计算会快很多

Answer 2

∫[π,-π][x^2+sin(x)^3]dx
=-∫[-π,π][x^2+sin(x)^3]dx
=-2∫[0,π]x^2dx
=-2/3x^3[0,π]
=-2π^3/3
怀疑积分限为 ：[-π,π]如不是，改变一个符号，利用了奇函数在对称区间上的积分为0，偶函数在对称区间上的积分为一半 区间的定积分的2倍。

追问

上限是π
=-2∫[0,π]x^2dx 怎么变成这步的 还能再说下嘛
=-2/3x^3[0,π]
=-2π^3/

追答

上限是π，把解答中的负号全部取掉，但是你题目上是上限是-π。
sin(x)^3是奇函数，在对称区间上的积分为0，x^2是偶函数，偶函数在对称区间上的积分为其一半 区间的定积分的2倍。所以有：
∫[-π,π][x^2+sin(x)^3]dx
=2∫[0,π]x^2dx
=2/3x^3[0,π]
=2π^3/3
我前面说过的。不明白还可以追问