Question

问一个线性代数的问题

设一个n阶矩阵A，x为一列向量组，x不等于0，Ax不等于0。
那么是否能够推出矩阵A不等于0？
为什么能由题设推出Ax=0，只有零解

Answer 1

题目意思应该是对于任意x不等于0，Ax不等于0
证明 AX=0只有零解
至于A不等于0是显然的
反证法证明AX=0只有零解：
若存在x1不等于0 使得Ax1=0
与题目的任意x不等于0，Ax不等于0矛盾
所以方程只有0解
另外可以从秩来考虑
因为对于任意x=(x1,x2..xn)T 不等于0，Ax不等于0
也就是 x1A1+x2A2..+xnAn=0 不存在一组不全为0的数使这个和为0 A1..An是A的列向量
说明A1..An线性无关
即rank(A)=n
AX=0只有零解

Answer 2

题目没有表达太清楚。
x为一列向量组，x不等于0，Ax不等于0。
这是说存在一个非零列向量x，使得Ax不等于0；
还是对于任意一个非零列向量x，都有Ax不等于0。
第二：
是希望推出矩阵A不等于0，还是希望推出矩阵A行列式不等于0.
Ax=0，只有零解 与 矩阵A行列式不等于0 等价。

想要证明
矩阵A不等于0
不难
因为如果矩阵A等于0，那么对于任意x，都有Ax不等于0，所以矩阵A等于0。

想要证明
矩阵A行列式不等于0
条件：存在一个非零列向量x，使得Ax不等于0 不足够
举一例说明
A=[1 1 回车 1 1]
x=[1 1]
Ax不等于0 但是 矩阵A行列式等于0

如果给出条件：任意一个非零列向量x，都有Ax不等于0
那么显然：Ax=0，只有零解，所以得证。

所以题目可以修正为：
设一个n阶矩阵A，x为任意列向量，x不等于0，必有Ax不等于0。
求证：矩阵A行列式不等于0。

Answer 3

A当然不为O,用反证法可得.
若A为O,则A与任何矩阵(列向量)的积均为O,矛盾,所以A不为0.
AX=0,则X=(A逆)O
与0相乘为0,所以X=0

Answer 4

反证法：1.A=0，则对任意x，Ax=0，题设矛盾。A=0；
2.x=0带入Ax=0成立，x=0为Ax=0的一个解，设方程还有其它解x，即Ax=0，与题设矛盾，所以x=0是唯一解，方程只有零解。