Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=1/3Sn,n=1,2,3,……,求数列｛an｝的通项公式

A(n+1)=1/3Sn
=>Sn=3*A(n+1)
=>An=Sn-S(n-1)=3(A(n+1)-A(n)
=>A(n+1)=4/3*An
=>An=A1*(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)

我想知道这样做是错哪了？？？

a(n)=1 (n=1)
a(n)=(4/3)^(n-2)*1/3 (n>=2)
是正解

Answer 1

(n-1)要大于等于1
所以n要大于等于2
因此该题要分类讨论，不能当做以A1为首项了
所以
当n=1时，等于1
当n大于等于2时，
An应该以A2为首项了=A2*(4/3)^(n-2)=(4/3)^(n-2)*1/3
懂了吗，亲~

Answer 2

当n=1时，a2=1/3S1=1/3
当n≥2时，A(n+1)=1/3Sn
=>Sn=3*A(n+1)
=>An+1=Sn+1-Sn=3(A(n+2)-A(n+1)
=>A(n+2)=4/3*A(n+1)
=>An=A2*(4/3)^(n-2)=(4/3)^(n-2)/3(n>=2)

An=Sn-S(n-1)=3(A(n+1)-A(n)
你的这个推导，出现了S0，不符合题意
其实，此数列就是一个从第二项开始的等比数列。