Question

若一个圆锥的全面积为πa^2,其侧面展开图扇形的圆心角为60°，则这个圆锥的体积为？

Answer 1

1.假设侧面展开图的母线长X，这个扇形面积1/6￥X^2(￥是圆周度)再求出扇形的弧度，1/3￥X
同时这个弧度的长度也是地面圆的周长，所以底面圆半径为1/6X。利用全面积条件解得x关于a的关系。即x=6a/根号7. 利用指教三角形求出圆锥的高（斜边知道，底边知道）为根号35/6X.
这样底面积知道，高也知道，公式求得体积
答案是a^3 乘以 根号5/126
你再验证下，思路就是这样

Answer 2

设圆锥底面半径为r，母线长为R，
底面周长等于扇形弧长得：
2πr=1/6*2πR，∴R=6r，
圆锥全面积=S底+S扇形=πr^2+1/6*π(6r)^2=7πr^2，
∴7πr^2=πa^2，r=a/√7，
圆锥高：H=√(R^2-r^2)=√(36r^2-r^2)=√35r=√5a，
底面积S=πr^2=πa^2/7，
∴V=1/3*(πa^2/7)*√5a=π√5a^3/21。