Question

高二数学，圆

已知圆C过点（-1，3），且圆心在x轴的负半轴上，直线l:x-y+5=0被圆C所截得的弦长为2
（1）求圆C的方程
（2）求过点Q（2，4）的圆C的切线方程
（3）已知直线y=ax+3与圆C相交于A、B两点，若在以点M(1，2)及N（3，6）为断点的线段上总存在点P使PA=PB，求实数a的取值范围

Answer 1

圆心C(c,0) c<0
圆心到直线l的距离 d=|c-0+5|/√(1²+(-1)²) = |c+5|/√2
半径 r² = d²+弦长一半² = (c+5)²/2 + 1
圆方程 (x-c)² + y² = (c+5)²/2 + 1
将(-1,3)代入上式，(-1-c)²+9 = (c+5)²/2 + 1
c = -1
(x+1)²+y² = 3²

|CQ| = 5 r = 3 切点T， |QT|=4 = Q纵坐标

所以一条切线垂直于x轴，为 x = 2
另一切线斜率 k = tanθ = tan(∠TCO- π/2) = - ctg∠TCO = -ctg(2∠TCQ) = - (1-tan²∠TCQ)/(2tan∠TCQ) = -(1 - (4/3)²)/(2*4/3) = 7/24
方程 y - 4 = 7/24(x - 2)

y=ax+3
(x+1)²+y² = 9 联立方程得
(a²+1)x² + (6a+2)x + 1 = 0
Δ = 8a(4a+3) > 0
得到 a < -3/4 或者 a > 0 这是必要条件 (1)

设AB中点D，则 AB中垂线方程 y - yD = -1/a(x-xD)
与线段 AB： y = 2x, 1≤x≤3
应当有交点，联立后得到
1≤(ayD+xD)/(2a+1)≤3，而 yD = axD+3

即 1≤((a²+1)xD+3a)/(2a+1)≤3 (2)

从（1）(2)
(1-a)/(a²+1)≤xD≤(3a+3)/(a²+1) 且 a > 0 或
(1-a)/(a²+1)≥xD≥(3a+3)/(a²+1) 且 a <-3/4 (3)

(x+1)²+y² = 3²
y=ax + 3 联立得到
(a²+1)x²+(6a+2)x+1 = 0
xD = (xA+xB)/2 = -(3a+1)/(a²+1) (4)

从(3)(4)得到 a>0 的解是没有的，a<-3/4得解是 -1≤a≤-2/3 这个满足要求

Answer 2

解：1.设圆心为（x0，0）（x0＜0），半径为r（r大于0），所以又
（x-x0）^2+y^2=r^2，则有（-1-x0）^2+3^2=r^2，得到x0^2+2x0-r^2+10=0，
设直线l与园交于（x1，y1），（x2,y2）两点，那么y1=x1+5，y2=x2+5，
那么弦长=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=根号[2(x1-x2)^2=2，所以有（x1+x2)^2-4x1x2=2，
将y=x+5代入（x-x0）^2+y^2=r^2，得到2x^2-(2x0-10)x+x0^2+25-r^2=0，所以有
x1+x2=（2x0-10）/2=x0-5，x1x2=(x0^2+25-r^2)/2，所以
（x1+x2)^2-4x1x2=（x0-5)^2-4*((x0^2+25-r^2)/2)=x0^2+10x0+25-2r^2=2，
联立x0^2+2x0-r^2+10=0，解得x0=-1，r=3；x0=7（舍去），所以园的方程为
（x+1)^2+y^2=9
2.设过点Q的直线方程为y=kx+b，则有4=2k+b，所以b=4-2k，所以y=kx+4-2k代入园
（x+1)^2+y^2=9，得到

Answer 3