Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,当0<=x<=1时,|f(x)|<=1,求证:|a|+|b|+|c|<=17,速求解答

Answer 1

二次函数在某区间的最值必在区间端点或抛物线的顶点处（顶点在区间内）取得！
|f(0)|=|c|≤1
|f(1)|=|a+b+c|≤1
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|
≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤7
|f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|
≤3|f(-1)|+|f(1)|+3|f(0)|≤7
如果|-b/2a|≤2
|2b|=|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2
|b|≤1
|f(-b/2a)|==|c-b^2/4a|≤|c|+|b^2/4a|≤1+|b/2||-b/2a|≤2≤7
所以当|x|≤2,|f(x)|≤7

追问

你没写完整吧。

追答

前面写错了，这是从大侠那问到的
将0带入f(x)：|c|<=1 (1)
将1带入f(x)：|a+b+c|<=1 (2)
将1/2带入f(x)：|a/4+b/2+c|<=1 (3)
由（3）得|b+3c+a+b+c|<=4
|b+3c|-|a+b+c|<|b+3c+a+b+c|<=4
得|b+3c|<=5
|b|-|3c|<=|b+3c|<=5
|b|<=8
然后|a|-|b|-|c|<=|a+b+c|<=1
得|a|<=8
故|a|+|b|+|c|<=17