Question

已知函数Fx=lgx的绝对值，若0小于a小于b，且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是多少

Answer 1

您好，对您的提问，回答如下：
首先可以证明：a≤1,b≥1。否则，假设a>1，因为a＜b，则 1<a<b，此时f（x）=丨lgx丨=lgx，单调递增，lga＜lgb，也就是f（a）<f（b），与f（a）=f（b）矛盾，所以假设不成立，所以a≤1.同样也可以证明b≥1.
因为a≤1，所以f（a）=| lga |=-lga=lg（1/a），f（b）=| lgb |=lgb，因为f（a）=f（b），所以lg（1/a）=lgb，而lgx是严格单调递增的函数，所以1/a=b，所以a+2b=a+2*1/a=a+2/a，可以证明，函数g（a）=a+2/a在区间(0,1]上单调递减，所以a+2/a≥g（1）=1+2=3，也就是a+2b≥3。
所以a+2b的取值范围是[3，正无穷）。
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Answer 2

由条件可得:b>a>0且a.b互为倒数 则a+2b=x+2/x(x>0)运用均值不等式可得其大于等于2倍的根号2(当且仅当x=2/x时，及x=根号2时取等号)。 好像是这样，你在想想吧

Answer 3

f(a)=f(b),-lga=lgb,ab互为倒数。a+2b=b分之一+2b≥2根号2，当且仅当b=二分之根号2取等号，b＞1，不符。所以a+2b属于3到正无穷（双开）

Answer 4

a+2b>=2√2F(x)=|㏑x|>0=㏑1F(a)=F(b)㏑a=-㏑b即㏑a=㏑(1/b)所以ab=1(a+2b)>=2√2ab=2√2