Question

三重积分运算问题

请看例13-39，红色笔画的那个式子是怎么回事？求高手详细指点，感激不尽~

Answer 1

首先你要知道∫∫(Dz) dxdy是计算Dz的面积
而这里的Dz、投影到xoy面是个椭圆域
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
x²/a² + y²/b² = 1 - z²/c²
x²/[a²(1 - z²/c²)] + y²/[b²(1 - z²/c²)] = 1
所以这个椭圆域的面积为(π × 半长轴 × 半短轴)
= π × √[a²(1 - z²/c²)] × √[b²(1 - z²/c²)]
= πab(1 - z²/c²)
即∫∫(Dz) dxdy = πab(1 - z²/c²)
所以∫(- c→c) z² dz ∫∫(Dz) dxdy
= ∫(- c→c) z² • πab(1 - z²/c²) dz
= πab∫(- c→c) (1 - z²/c²)z² dz

切片法的用法尤其适用于被积函数是关于z的函数，然后将被积区域投影到平面下取横截面面积
是个非常快速的方法
当被积函数不只是关于z的函数，就要将∫∫(Dz) f(x，y，z) dxdy展开来计算了