Question

在△ABC中,AB=AC.(1)如图,若点P是BC边上的中点

在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

快快快！步骤要清晰！

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Answer 1

1、∵AB=AC
P是BC边上的中点即BP=CP
∴AP是等腰三角形ABC的高（三线合一）
∴AP⊥BC，
∴在Rt△ABP中
BP²=AB²-AP²(勾股定理）
∵BP²=BP×CP
∴BP×CP=AB²-AP²
2、做AD⊥BC
∵AB=AC
∴BD=CD(三线合一）
∴AD²=AB²-BD²
AD²=AP²-PD²
∴AB²-BD²=AP²-PD²
即BD²-PD²=AB²-AP²
∴(BD+PD)(BD-PD)=AB²-AP²
∵BD+PD=CD+PD=CP
BD-PD=BP
∴BP×CP=AB²-AP²
3、做AD⊥BC
∵AB=AC
∴BD=CD(三线合一）
∴AD²=AC²-CD²=AB²-BD²
AD²=AP²-PD²
∵BD=BP+PD
∴AB²-BD²=AP²-PD²
即BD²-PD²=AB²-AP²
∴AB²-BD²=AP²-PD²
即BD²-PD²=AB²-AP²
∴(BD+PD)(BD-PD)=AB²-AP²
∵BD+PD=BP
PD-CD=PD-BD=CP
∴(BD+PD)(BD-PD)=AB²-AP²
∴BP×CP=AP²-AB²