Question

已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=？

解题过程中x^2-2x-8=0 怎么得来的？要详细的

Answer 1

解：
设公比为q。
数列是等比数列，则a4a7=a5a6=-8，又a4+a7=2，a4、a7是方程x²-2x-8=0的两根。
(x-4)(x+2)=0
x=4或x=-2 以上就是x²-2x-8=0得到的由来，关键是知道等比数列a4a7=a5a6
a4=4 a7=-2时，
a7/a4=q³=(-2)/4=-1/2 a1=a4/q³=4/(-1/2)=-8
a1+a10=a1(1+q^9)=(-8)×[1+(-1/2)³]=-7
a4=-2 a7=4时，
a7/a4=q³=4/(-2)=-8 a1=a4/q³=(-2)/(-8)=1/4
a1+a10=a1(1+q^9)=(1/4)×[1+(-8)³]=-511/4

Answer 2

解题过程中x^2-2x-8=0的由来：
∵a4+a7=2①，{an}为等比数列，由等比数列的下标和性质可得a5·a6=a4·a7=-8②

∴由①②可得x^2-2x-8=0（即将a4、a7看做是方程ax^2+bx+c=0的两根，则①②两式是由韦达定理得来，倒推即可得出方程x^2-2x-8=0）

Answer 3

我们有一个性质：
a4
*a7=a5*a6
=a3*a8=a2*a9=a1*10
同理
a4*a4=a1*a7
a7*a7=a4*a10
a1+a10=a4*a4/a7+a7*a7/a4
函数本身关于a4、a7对称
也就是
a4*a7=-8
a4+a7=2
a4,a7满足x^2-2x-8=0
的两个解
x1=4,x2=-2
当a4=4,a7=-2时，
a1+a10=16/-2
+4/4=-7
当a4=-2.a7=4时
a1+a10=4/4+16/-2=-7
即a1+a10=-7