Question

求函数y=sinx+sin2x-cosx(x∈R)的值域

Answer 1

解：令t=sinx-cosx=2sin（x-π4）∈[-2，2]，
则t2=（sinx-cosx）2=1-sin2x，∴sin2x=1-t2，
∴y=sinx+sin2x-cosx=-t2+t+1=-（t-12）2+54，
∴由二次函数可知当t=12时，y取最大值54，
当t=-2时，y取最小值-2-1，
∴函数y=sinx+sin2x-cosx（x∈R）的值域为[-2-1，54]

Answer 2

解：
y=sinx+sin(2x)-cosx
=(sinx-cosx)+cos(π/2 -2x)
=√2sin(x-π/4)+cos[2(x-π/4)] 注意：cos(π/2-2x)=cos(2x-π/2)。
=√2sin(x-π/4)+1-2sin²(x-π/4) 后面一项用二倍角公式。
=-2[sin(x-π/4)-(√2/4)]² +5/4 配方
sin(x-π/4)=√2/4时，y有最大值ymax=5/4
sin(x-π/4)=-1时，y有最小值ymin=-1-√2
综上，得-1-√2≤y≤5/4，函数的值域为[-1-√2，5/4]。