Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，点M、N分别是AB、AC上的动点，且

∠MDN=60°，试探讨△AMN的周长是否变化，并证明你的结论。

Answer 1

解：

不变化，△AMN的周长=2，理由如下：
延长AC至M'，使CM'=BM，
又∵∠ABD=∠DCM'=90°，DB=DC，
∴△BDM≌△CDM'
∴DM=DM'，∠BDM=∠CDM'，
∴∠MDM'=∠BDC=120°，
又∵∠MDN=60°，
∴∠M'DN=60°=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△M'DN，
∴NM=NM'，
∴L△AMN
=AN+NM+AM
=AN+NM'+AM
=AM'+AM
=AC+CM'+AM
=AC+BM+AM
=AC+AB
=2

Answer 2

三角形AMN的周长不发生变化
证明：延长AC，使CE=BM，连接DE
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=AC=1
角ABC=角ACB=60度
因为三角形BDC是顶角为120度的等腰三角形
所以BD=CD
角DBC=角DCB
角BDC=120度
因为角BDC+角DBC+角DCB=180度
所以角DBC=角DCB=30度
所以角DBM=角ABC+角DBC=60+30=90度
角DCN=角ACB+角DCB=60+30=90度
因为角DCN+角DCE=180度
所以角DCE=90度
所以角DBM=角DCE=90度
所以三角形DBM和三角形DCE全等（SAS)
所以角BDM=角CDE
DM=DE
因为角BDC=角BDM+角MDN+角CDN=120度
角MDN=60度
所以角CDN+角CDE=角EDN=60度
所以角MDN=角EDN=60度
因为DN=DN
所以三角形MDN和三角形EDN全等（SAS)
所以MN=EN
因为EN=CN+CE
所以EN=BM+CN
因为三角形AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+AN+CN
AB=AM+BM=1
AC=AN+CN=1
所以三角形AMN的周长=2
所以三角形AMN的周长不发生变化