Question

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,将抛物线y=-x²+2x+3

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,将抛物线y=-x²+2x+3沿x轴正方向平移，平移后的抛物线交y轴于点F，与x轴的右交点为E点，G为AC的中点，延长GO交EF于点H，是否存在这样的抛物线，使得GH⊥EF？若存在，求平移后的抛物线解析式

Answer 1

Y=-X^2+2X+3=-(X-1)^2+4，顶点坐标：(1，4)，

平移后的顶点设为(m，4)，Y=-(X-m)^2+4，

X=0时，Y=4-m^2，Y=0时，X=m±2，

∴F(0，4-m^2)，E(m+2，0)，

∵G为AC的中点，∴OG=OA，∴∠A=∠GOA，

又∠GOA=∠EOH，

∵GH⊥EF，∴∠EOH=∠F，∴∠A=∠F，

∵tanA=OC/OA=3，

∴tanF=3，即OE/OF=3，

∴(m+2)/|4-m^2|=3，

m=7/3或5/3(不合题意，舍去)

∴平移后抛物线为：Y=-(X-7/3)^2+4。