Question

如图，有一张矩形纸片ABCD 己知AB=2，BC=4，

如图，有一张矩形纸片ABCD 己知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点(与点A不重合)，且0<AE≤2，若BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接pc。
试求下列情况下的线段PC 的长。精确到0.1
①以PC D为顶点的三角形是等腰三角形，
②直线cP与BE垂直

Answer 1

一、以PC D为顶点的三角形是等腰三角形，有三种情况：1、PD=PC；2、PD=DC；3、PC=DC
1、PD=PC时，P点在DC的垂直平分线上，则过P作DC的垂线，垂足为F，延长FP交AB与G，PG垂直于AB，在RT三角形PGB中，PB=AB=2，BG=1，勾股定理得PG=根号3，FP=4-根号3 ，在RT三角形PFC中，已知FP和CF，勾股定理可得PC（打字复杂就不写了） ；
2、只有当P点在E点上时，PD=DC=2，但这是不可能的（画画图可知，如果PD=DC=2，而且BP=AB=2，则BP+DP=4即为根号16，而矩形对角线BD=2*根号5即为根号20，可得BP+DP小于BD，也就是即使BP+DP也不够最短的直线距离BD，因此反过来可知PD是大于2）；
3、PC=DC=2，也就是AE=2时，AEPB为边长为2的正方形（画图可知）。

二、连接BE，过C点作BE的垂线，垂足为O，而且点P在OC上。然后连接AO。
根据三角形ABE与三角形PBE关于BE对称，可得AO垂直于BE，也可得AO与PO在同一直线上，即AO+CO=AC（对角线）
因为角AOB=角CBA=90度，角CAB为公共角，所以三角形AOB与三角形ABC相似，可得
AB比AC=AO比AB，而AB=2，AC（对角线）=2*根号5，可得OP=（2/5）*根号5
而且OP=OA，则PC=AC-AO-PO=（6/5）*根号5

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