Question

1×2+2×3+……+2012×2013结果除以9余数是多少啊，

Answer 1

解法一（直接求和）：1×2+2×3+…+2012×2013=1×(1+1)+2×(2+1)+…+2012×(2012+1)
=1²+1+2²+2+…+2012²+2012=1²+2²+…+2012²+1+2+…+2012
=2012×(2012+1)(2×2012+1)/6+(1+2012)×2012/2
=2012×2013×4025/6+2013×1006
=2716979650+2025078=2719004728.
2719004728/9=302111636……4，即1×2+2×3+……+2012×2013除以9余数是4.

解法二（利用同余关系）：9n+a≡a(mod9)，其中n是自然数，
这样以9为周期，2012=2007+5=9×223+5，
1×2+2×3+…+9×10≡10×11+11×12+…+18×19
≡…≡1999×2000+2000×2001+…+2007×2008(mod9)，
由于1×2+2×3+…+9×10≡2+6+12+20+30+42+56+72≡240≡6(mod9)
故1×2+2×3+…+2012×2013≡6×223+1×2+2×3+3×4+4×5+5×6
≡1338+2+6+12+20+30≡1408≡4(mod9)，
所以1×2+2×3+……+2012×2013除以9余数是4.

Answer 2

1×2+2×3+……+2012×2013
=2012x2013x2014/3

=8157014184/3
=2719004728
=302111636x9+4
余数是4。

Answer 3

8，有周期性的，仔细研究一下呗