Question

试求抛物线（y-2）^2=x-1和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x轴所围成的平面图形面积。谢谢

Answer 1

(y - 2)² = x - 1是抛物线y² = x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。新顶点为C(1, 2)

(y - 2)² = x -1两边对x求导, 2(y - 2)y' = 1

y' = 1/[2(y - 2)]

y = 3, 切线斜率k = 1/2

(3 - 2)² = x -1, x = 2, 切点B(2, 3)

y = 0, (0 - 2)² = x - 1, x = 5

抛物线(y - 2)² = x - 1和x轴交于D(5, 0)

切线: y - 3 = (1/2)(x - 2), y = x/2 + 2

y = 0, x = -4

切线和x轴交于A(-4, 0)

见图，三者所围的区域有三部分:

x = 1左侧的三角形(S1)

x = 1右侧, 切线下方和抛物线上半部(y = 2 + √(x - 1))所围的区域(S2)

x = 1右侧, 抛物线下半部(y = 2 - √(x - 1)和x轴所围的区域(S3)

S1 = (1/2)(1 + 4)*(1*1/2 + 2) = 25/4

S2 = ∫₁²[x/2 + 2 - 2 - √(x - 1)]dx = [x²/4 - (2/3)√(x - 1)³]|₁²

= 1 - 2/3 - (1/4 - 0)

= 1/12

S3 = ∫₁⁵[2 - √(x - 1) - 0]dx = [2x - (2/3)√(x - 1)³]|₁⁵

= (10 - 16/3) - (2 - 0)

= 8/3

S = S1 + S2 + S3

= 25/4 + 1/12 + 8/3

= 9

Answer 2

如图：

Answer 3