Question

含有三角函数的二阶微分方程的特解怎么求？

我看了两道例题。一道是 y''+9y=2cos3x 他设的特解是x（acos3x+bsin3x） 第二道是 y’’+y+sin2x=0 他设的特解是 sin2x 请问特解是怎么设的呢？

Answer 1

一道是y''+9y=2cos3x由于3i是单根，故设的特解是x（acos3x+bsin3x）

第二道是y’’+y+sin2x=02不是根，且缺y'故设的特解是Asin2x（当缺y'时，sinkx的二阶导数还有sinkx，不会出现coskx）

常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx 

特解：y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx    

特解：y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n                 

特解：y=ax

可降阶方程：

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

Answer 2

一道是 y''+9y=2cos3x 由于3i是单根,故设的特解是x（acos3x+bsin3x）
第二道是 y’’+y+sin2x=0 2不是根,且缺y' 故设的特解是 Asin2x(当缺y'时, sinkx的二阶导数还有sinkx,不会出现coskx)

追问

我的意思是 为什么第一个会有 sinkx+coskx 第二个只是sinkx 懂我意思了没？

追答

我当然知道你的意思
2题本来设:y=acos2x+bsin2x但 当缺y'时, sin2x的二阶导数还有sin2x,不会出现cos2x.故acos2x可以不要

Answer 3

Answer 4

你先理解什么是特征方程，解出特征根，然后再理解什么叫多项式，然后再看下面