Question

已知函数f(x)=-x³+ax²-4 在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1 ],则f(m)+f(n)的最小值是

Answer 1

f'(x)=-3x²+2ax-4 f在x=2处取得极值, a=4
f(x)=-x³+4x²-4 f'(x)=-3x²+8x-4=(x-2)(-3x+2)
f(-1)=1, f(1)=-1 f(2/3)=-8/27-20/9= -68/27
所以f(m)+f(n)的最小值是 -136/27

Answer 2

易知f'(x)=-3x²+2ax
f'(2)=0,∴a=3.
∴x∈（-1,0），单调递减
x∈（0,1），单调递增
所以0是一个极小值点，也是[-1,1]上的最小值，为-4
所以m,n∈[-1,1 ],则[f(m)+f(n)]min=2*-4=-8

Answer 3

f(x)'=-3x^2+2ax=0, 代入X=2， -3*2^2+4a=0, 得a=3
f(m)'=-3m^2+6m=0, m1=2（因不∈[-1,1 ],故舍去）,m2=0 f（m）=-4
f(n)'=-3n^2+6n=0, n1=2（因不∈[-1,1 ],故舍去）,n2=0 f（n）=-4
f(m)+f(n)=-4-4= -8