Rt△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F，求证AE=CF
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证明：过E点作AC的平行线，交AB于P，交BC于Q
∵∠BAC=90°，且PQ平行AC
∴∠EPB=90°
∴∠PAE+∠PEA=90°。
∵AD⊥BC
∴∠DEQ+∠EQD=90°
∵∠PAE=∠DEQ
∴∠PEA=∠EQD且BG是∠ABC的平分线，所以∠ABE=∠QBE
∴△BEA≌△BEQ
∴AE=EQ
∵EF平行BC，EQ平行CG
∴四边形QCFE是平行四边形
∴EQ=CF
∴AE=CF
∵∠BAC=90°，且PQ平行AC
∴∠EPB=90°
∴∠PAE+∠PEA=90°。
∵AD⊥BC
∴∠DEQ+∠EQD=90°
∵∠PAE=∠DEQ
∴∠PEA=∠EQD且BG是∠ABC的平分线，所以∠ABE=∠QBE
∴△BEA≌△BEQ
∴AE=EQ
∵EF平行BC，EQ平行CG
∴四边形QCFE是平行四边形
∴EQ=CF
∴AE=CF
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