Question

设等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，已知数列bn的公比为q（q＞0），a1=b1=1,S5=45,T3=

a3-b2.
求q/（a1a2）+q/（a2a3）+…+q/（an+a(n+1)）

Answer 1

解：

设{an}公差为d
S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5a3=45
a3=9
a3-a1=2d=9-1=8

d=4
an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3
T3=b1+b2+b3=b1(1+q+q²)=1×(1+q+q²)=1+q+q²=a3-b2=9-b1q=9-1×q=9-q
q²+2q-8=0
(q+4)(q-2)=0
q=-4(与已知q>0矛盾，舍去)或q=2
q/[ana(n+1)]=2/[(4n-3)(4n+1)]=(1/2)[1/(4n-3) -1/[4(n+1)-3]]
q/(a1a2)+q/(a2a3)+...+q/[ana(n+1)]
=(1/2)[1/(4×1-3)-1/(4×2-3)+1/(4×2-3)-1/(4×3-3)+...+1/(4n-3)-1/[4(n+1)-3]]
=(1/2)[1-1/(4n+1)]
=2n/(4n+1)

Answer 2

s5=5*(a1+a5)/2=45 得 a5=17 所以d=(17-1)/4=4
则 an=1+(n-1)*4=4n-3
T3=1+q+q^2=9-q 因为q>0, 得q=2
于是 q/（a1a2）+q/（a2a3）+…+q/（an+a(n+1)）
=2*(1/(1*5)+1/(5*9)+....1/(4(n-1)*4n))
=1/2*(1-1/5+1/5-1/9+.....+1/4(n-1)-1/4n)
=1/2*(1-1/4n)