Question

已知抛物线y=a(x-m)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B,点A,B关于原点O的对称点分别为C,D.

已知抛物线y=a（x-m）的平方+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。
（1）如图1，求抛物线y=（x-2）的平方+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x-m）的平方+n（m大于0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x-m）的平方+n的伴随直线是y=-2x+b（b大于0），且伴随四边形ABCD是矩形．
1用含b的代数式表示m、n的值；
2在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得三角形PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由．第（2）题中要用到K1乘以K2等于-1这个公式 今晚就要

Answer 1

（1）由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），
设所求直线解析式为y=kx+b，
∴1＝2K＋b,5=b ，
k=-2,b=5，
∴y=﹣2x+5；

 

（2）作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，A（0，﹣3），C（0，3），
∴AC=6，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S△ABC=6即S△ABC= 1／2AC•BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上
∴顶点B的坐标为（2，﹣1），
又抛物线经过点A（0，﹣3），
∴a=﹣1／2 ，
∴y=﹣1／2 （x﹣2﹚²﹣1；

 

（3）①作BF⊥x轴于点F，
由已知可得A（0，b），C（0，﹣b），
∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上，
∴n=﹣2m+b，即B（m，﹣2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴﹣b= √FO²＋FB²，
∴b²=m²+4m²﹣4mb+b²，
∴m= 4／5b，
n=﹣2×4／5 b+b=﹣3／5 b，
②∵B点坐标为（m，n），即（ b，﹣ b），
∴BO=√﹙4／5b﹚²＋﹙－3／5b﹚² =b，
∴BD=b，
当BD=BP，
∴PF=b﹣3／5 b=2／5 b，
∴P（ 4／5b，2／5 b）．

追问

第（2）题中要用到K1乘以K2等于-1这个公式 今晚就要