Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，且A点坐标（-3，0），经过B点的直线交抛物线与点D

点D(-2,-3) 1.求抛物线的解析式和BD的解析式； 2.过x轴上点E（a，0)作直线EF∥ BD,交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE死平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由

Answer 1

答：
（1）显然，点A（-3,0）和点D（-2，-3）都在抛物线上，代入抛物线方程得：
9-3b+c=0
4-2b+c=-3
解得：b=2，c=-3
所以抛物线的解析式为：y=x^2+2x-3

抛物线与x轴的另外一个交点B为（1,0）
所以BD直线方程为：y-0=(x-1)(-3-0)/(-2-1)，即：y=x-1

（2）因为EF//BD，所以EF直线的斜率与BD直线的斜率相同为1，
EF直线方程为：y=x-a，代入抛物线方程得：
y=x-a=x^2+2x-3，整理得：
x^2+x+a-3=0
依据题意，点F是唯一的，因此上述方程仅有一解：
△=1^2-4(a-3)=0，a=13/4，x=-1/2，y=-15/4，所以点F为(-1/2，-15/4），点E为（13/4,0）
因为DF的斜率不为0，即DF与BE不是相互平行，所以四边形BDFE不是平行四边形。
所以不存在实数a，使得四边形BDFE为平行四边形。